%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.17. French}

\textbf{Théorème 1.17}
Sous les hypothèses de 1.16, la transformation de monodromie $T$ s'étend en un automorphisme de $V$ dont la fibre en $0$ est donnée par
\[
T_0 = \exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma)).
\]

On peut faire $V = \Theta^n$; l'équation différentielle pour les sections horizontales est alors
\[
\partial_z v = -\Gamma v,
\]
et l'équation différentielle pour une base horizontale $e : \Theta^n \longrightarrow V$ est donc
\begin{equation}
\partial_z e = -\Gamma e. \tag{1}
\end{equation}

En coordonnées polaires $(r, \theta)$,
\[
z = r\,e^{i\theta}, \quad dz = rie^{i\theta} d\theta + dr\,e^{i\theta},
\]
et cette équation fournit

%\page*{- 54 -}

\[
\partial_\theta e = -ir\,\Gamma\, o\, e.
\]

Posons $\Gamma = \frac{\Gamma_0}{z} + \Gamma_1$, avec $\Gamma_0$ constant et $\Gamma_1$ holomorphe. L'équation précédente se réécrit :
\[
\partial_\theta e = -(i\,e^{-i\theta}\Gamma_0 + ir\,\Gamma_1)\,e.
\]

La transformation de monodromie en $(r, \theta)$ est la valeur en $(r, \theta + 2\pi)$ de la solution de cette équation différentielle qui en $(r, \theta)$ est l'identité. Lorsque $r \to 0$, la dite solution tend vers la solution de l'équation limite
\begin{equation}
\partial_\theta e = -i\,e^{-i\theta}\Gamma_0\,o\,e. \tag{2}
\end{equation}

On en déduit que $T$ a une valeur limite pour $z \to 0$, $\theta$ fixé, et que cette valeur dépend continûment de $\theta$. En particulier, $T$ est borné près de $0$, donc se prolonge en un endomorphisme $T$ de $V$ sur $D$. On conclut que $T$ a une valeur limite pour $z \to 0$ ; cette valeur, donnée par l'intégration de (1), ne dépend que de $\Gamma_0$. Il suffit pour calculer cette valeur limite de la calculer pour une quelconque connexion $\Gamma'$ de même résidu que $\Gamma$.

Par exemple, on vérifie :

\textbf{Lemme 1.17.1}

Soit sur $\Theta^n$ la connexion de matrice $U \frac{dz}{z}$ pour $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$. L'équation $\nabla e = 0$ a pour solution générale
\[
e = \exp(-\log z \cdot U)f =: z^{-U}f,
\]
la monodromie donc est l'automorphisme de $\Theta^n$ de matrice constante 
\[
\exp(-2\pi i U).
\]

\textbf{Corollaire 1.17.2}

Sous les hypothèses précédentes, l'automorphisme $\exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma))$ de la fibre de $V$ en $0$ est limite de conjugués de l'automorphisme de monodromie.


On prendra garde qu'il n'est pas vrai en général que $T_x$ soit conjugué à $T$ pour $x$ proche de $0$. Par exemple, si $\nabla$ est la connexion sur $\Theta^2$ pour laquelle
\[
\nabla(v) = d(v) + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} v \frac{dz}{z} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} v,
\]
la section horizontale générale est
\[
e = \begin{pmatrix} f(z) \\ g(z) \end{pmatrix} \quad \text{avec } \partial_z f = 0, \quad \partial_z g = -\frac{g}{z} + f.
\]


%\page*{- 55 -}

\[
u = a, \quad v = az \log z + bz
\]

et la transformation de monodromie est
\[
T = \begin{pmatrix} 1 & 2\pi i z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Toutefois, il résulte de 1.17.2 que $T$ et $T_0$ ont même polynôme caractéristique. Voir aussi 5.6.

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\subsection*{1.17. English}

\textbf{Theorem 1.17}
Under the hypotheses of 1.16, the monodromy transformation $T$ extends to an automorphism of $V$, whose fiber at $0$ is given by
\[
T_0 = \exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma)).
\]

We may take $V = \Theta^n$; the differential equation for horizontal sections is then
\[
\partial_z v = -\Gamma v,
\]
and the differential equation satisfied by a horizontal basis $e : \Theta^n \to V$ is therefore
\begin{equation}
\partial_z e = -\Gamma e. \tag{1}
\end{equation}

In polar coordinates $(r, \theta)$,
\[
z = r\,e^{i\theta}, \quad dz = r i e^{i\theta} d\theta + e^{i\theta} dr,
\]
and this equation yields

%\page{- 54 -}

\[
\partial_\theta e = -i r\,\Gamma\, e.
\]

Write $\Gamma = \frac{\Gamma_0}{z} + \Gamma_1$, where $\Gamma_0$ is constant and $\Gamma_1$ is holomorphic. The previous equation becomes:
\[
\partial_\theta e = -(i\,e^{-i\theta}\Gamma_0 + i r\,\Gamma_1)\,e.
\]

The monodromy transformation at $(r, \theta)$ is the value at $(r, \theta + 2\pi)$ of the solution of this differential equation that equals the identity at $(r, \theta)$. As $r \to 0$, this solution converges to the solution of the limiting equation
\begin{equation}
\partial_\theta e = -i\,e^{-i\theta}\Gamma_0\,e. \tag{2}
\end{equation}

It follows that $T$ has a limit as $z \to 0$ with $\theta$ fixed, and that this limit depends continuously on $\theta$. In particular, $T$ is bounded near $0$, hence extends to an endomorphism $T$ of $V$ over $D$. We conclude that $T$ admits a limit as $z \to 0$; this limit, obtained by integrating (1), depends only on $\Gamma_0$. Thus, to compute this limit it suffices to compute it for any connection $\Gamma'$ having the same residue as $\Gamma$.

For example, one verifies:

\textbf{Lemma 1.17.1}

Consider on $\Theta^n$ the connection with matrix $U \frac{dz}{z}$, where $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$. The general solution of the equation $\nabla e = 0$ is
\[
e = \exp(-\log z \cdot U)f =: z^{-U}f,
\]
so the monodromy is the automorphism of $\Theta^n$ with constant matrix
\[
\exp(-2\pi i U).
\]

\textbf{Corollary 1.17.2}

Under the above assumptions, the automorphism $\exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma))$ of the fiber of $V$ at $0$ is the limit of conjugates of the monodromy automorphism.

One must be careful: in general, it is not true that $T_x$ is conjugate to $T$ for $x$ near $0$. For instance, consider the connection $\nabla$ on $\Theta^2$ defined by
\[
\nabla(v) = d(v) + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} v \frac{dz}{z} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} v.
\]
A general horizontal section is
\[
e = \begin{pmatrix} f(z) \\ g(z) \end{pmatrix} \quad \text{with } \partial_z f = 0, \quad \partial_z g = -\frac{g}{z} + f.
\]

%\page*{- 55 -}

\[
u = a, \quad v = a z \log z + b z,
\]

and the monodromy transformation is
\[
T = \begin{pmatrix} 1 & 2\pi i z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Nevertheless, it follows from Corollary 1.17.2 that $T$ and $T_0$ have the same characteristic polynomial. See also §5.6.
